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2018-2019学年高中数学 第二章 参数方程 二 圆锥曲线的参数方程 椭圆

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第二讲 参数方程

二、 圆锥曲线的参数方程 第 1 课时 椭圆

[学*目标] 1.掌握椭圆的参数方程,明确参数 φ 的 几何意义(重点). 2.利用椭圆的参数方程解一些数学问 题(重点、难点).

如图,椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴时,对应的普

通方程为

x2 a2

+by22=1(a>b>0),参数方

程为

??x=acos ???y=bsin

φ, φ (φ

为参数,0≤φ<2π).

温馨提示 圆的参数方程中的参数 θ 是动点 M 的旋 转角,但在椭圆的参数方程中,参数 φ 是动点 M 所对应 的圆的半径 OB 的旋转角(称为点 M 的离心角),并不是 OM 的旋转角.

1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”).

(1)椭圆1x62 +y92=1

的参数方程为?????xy==34scions

θ, (θ
θ

为参

数).( )

(2)已知

P

是椭圆?????yx==24sin3cαos

α, (α

为参数)上一点,

且对应的参数 α=π3,则 P 的坐标为(2 3, 3).( )

(3)已知椭圆的参数方程为?????xy==42scions

t, (t
t

为参数),点

M 在椭圆上,对应参数 t=π3 ,点 O 为原点,则 kOM=

2 3.( )

解析:(1)由椭圆的普通方程知椭圆焦点在 x 轴,a= 4,b=3,故参数方程正确.

???x=4

π 3·cos 3 =4

3×12=2

3,

(2)由?

?

π

??y=2sin 3 =2×

23=

3,

得 P(2 3, 3),故正确.

(3)易求得 x=1,y=2 3,则 M(1,2 3), 所以直线 OM 的斜率 kOM=xy=2 3. 答案:(1)√ (2)√ (3)√

2.椭圆?????xy==bascions

θ, θ (θ

为参数),若

θ∈[0,2π),则

椭圆上的点(-a,0)对应的 θ=( )

A.π

B.π2

C.2π

D.32π

解析:由 y=bsin θ=0,得 θ=0 或 π.

而 x=-a,故 θ=π.

答案:A

3.曲线 C:?????yx==3c5ossinφφ,(φ 为参数,0≤θ <2π )的 离心率为( )

233

5

A.3 B.5 C.2 D. 3

解析:由?????xy==3c5ossinφφ,得?????x3y=5=cossinφφ, 所以x92+y52=1,所以 a=3,b= 5,c=2,e=23.

答案:A

4.椭圆x42+y22=1 的参数方程是________________.

??x=2cos θ,

答案:???y=

(θ 2sin θ

为参数)

5.实数 x,y 满足 3x2+4y2=12,则 2x+ 3y 的最大 值是________.
解析:因为实数 x,y 满足 3x2+4y2=12,
所以设 x=2cos α,y= 3sin α,则
2x+ 3y=4cos α+3sin α=5sin(α+φ), 其中 sin φ=45,cos φ=35.

当 sin(α+φ)=1 时,2x+ 3y 有最大值为 5. 答案:5

类型 1 对椭圆参数方程的理解(自主研析)

[典例 1]

将参数方程?????xy==35scions

θ θ

, (θ

为参数)化为

普通方程,并判断方程表示曲线的焦点坐标.

??x=5cos θ, ??cos θ=x5,

解:由?
??y=3sin θ

得? ??sin

θ=3y,

两式*方相加,得x522+3y22=1. 所以 a=5,b=3,c=4. 因此方程表示焦点在 x 轴上的椭圆,焦点坐标为 F1(4,0)和 F2(-4,0).

归纳升华

1.(1)椭圆的参数方程???x=acos

θ,
(θ 为参数,a,b

??y=bsin θ

为常数,且 a>b>0)中,常数 a,b 分别是椭圆的长半轴长

和短半轴长,焦点在长轴上.

(2)若椭圆的中心不在原点,而在点 M(x0,y0)处,则

??x=x0+acos θ,

相应椭圆的参数方程为?

(θ 为参数).

??y=y0+bsin θ

2.椭圆xa22+by22=1(a>b>0)的参数方程?????xy==bascions

φ,

φ

为参数)中的参数 φ 有明确的几何意义.对于椭圆xa22+by22=

1,φ称为该椭圆的离心角,φ的最大范围是 R,最小范围

是[0,2π).如果 θ 的范围比[0,2π)还小,那么该参数方

程表示的图形不是一整个椭圆,而是椭圆的一部分.

[变式训练] (1)写出椭圆(x-31)2+(y+52)2=1 的参数方程;
(2)椭圆的参数方程为?????xy==-1+2+3co2ssitn,t (t 为参数),点 P 为椭圆上对应 t=π6的点,求直线 OP 的斜率.

???x-31=cos θ, 解:(1)由题意可设?
?y+2 ?? 5 =sin θ,

??x=1+ 3cos θ,

即?

(θ 为参数)为所求.

??y=-2+ 5sin θ

(2)当 t=π6时,x=1+3cos π6=1+323,

y=-2+2sin π6=-1.

所以

OP

的斜率

k=xy=1+-312

4-6 3= 23

3 .

类型 2 利用椭圆的参数方程求轨迹方程(互动探究) [典例 2] 已知 A,B 分别是椭圆3x62+y92=1 的右顶点 和上顶点,动点 C 在该椭圆上运动,求△ABC 的重心 G 的轨迹方程.

解:由题意知 A(6,0),B(0,3),由于动点 C 在椭圆 上运动,
故可设动点 C 的坐标为(6cos θ,3sin θ). 设点 G 的坐标为(x,y), 由三角形重心的坐标公式可得

???x=6+0+36cos

θ ,

??x=2+2cos θ,

?

即?

? 0+3+3sin θ

??y=

3



??y=1+sin θ.

(x-2)2 消去参数 θ 得到重心 G 的轨迹方程为 4 +(y

-1)2=1.

又因为点 C 不与点 A,B 重合,故重心 G 不能为(2, (x-2)2
2),且不能为(4,1),所以重心 G 的轨迹方程为 4 +(y-1)2=1,除去点(2,2),(4,1).

[迁移探究] (改变问法)将典例 2 中的设问“求 △ABC 的重心 G 的轨迹方程”改为“求线段 OC 中点 M 的轨迹方程”.
解:设线段 OC 中点 M 坐标为(x,y),椭圆上的动点
C 的坐标为(6cos θ,3sin θ),则由中点公式得

???x=0+62cos

θ ,

??x=3cos θ,

? ? 0+3sin ??y= 2

θ ,

即???y=32sin

θ

(θ 为参数).

消去参数 θ 得动点 M 的轨迹方程为x92+49y2=1,

即 x2+4y2=9.

归纳升华 1.求动点的轨迹方程时,先求出动点轨迹的参数方 程,然后消去参数转化为普通方程,要注意合理利用三角 恒等变恒消参. 2.利用椭圆的参数方程解决求轨迹问题具有优越性, 利用参数方程运算会更简便.

类型 3 椭圆参数方程的应用(规范解答)

[典例 3] (本小题满分 10 分)在直角坐标系 xOy 中,

以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已

知曲线

C1:?????xy==-4+3+cossitn,t (t

为参数),C2:?????xy==26scions

θ, (θ
θ

为参数).

(1)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表 示什么曲线;

(2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t=-π2,Q 为 C2 上 的动点,求线段 PQ 的中点 M 到直线 C3:ρcos θ- 3ρsin θ=8+2 3距离的最小值.
审题指导:(1)利用“sin2α+cos2α=1”进行消参可得
C1,C2 的普通方程,再通过普通方程的类型说明曲线的
类型.

(2)求出 P 坐标,设出 Q 的坐标(用参数表示).由中 点公式求得 M 坐标,然后根据点到直线的距离公式求得 距离,再根据三角函数求最值.

[规范解答] (1)C1:(x-4)2+(y+3)2=1,(1 分) C2:3x62+y42=1,(2 分) C1 为圆心是(4,-3),半径是 1 的圆;(3 分) C2 为中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 6, 短半轴长是 2 的椭圆.(4 分)

(2)当 t=-π2时,P(4,-4),(5 分) 设 Q(6cos θ,2sin θ), 则 M(2+3cos θ,-2+sin θ),(6 分) C3 为直线 x- 3y-(8+2 3)=0,(7 分) M 到 C3 的距离

d



|(2+3cos θ)- 3(-2+sin θ)-(8+2 3)|

2

(8 分)

?

|3cos =

θ-

3sin 2

θ-6|=??2

3cos???θ+π6???-6??? 2

=3- 3cos???θ+π6???,(9 分)

从而当 cos???θ+π6???=1 时,d 取得最小值 3- 3.(10 分)

归纳升华 利用椭圆的参数方程可以解决与椭圆上的点有关的 最值问题,其思想是转化为三角函数的最值问题.当点 P 在椭圆xa22+by22=1(a>b>0)上时,可设其坐标为(acos φ,bsin φ),当点 P 在椭圆ay22+xb22=1(a>b>0)上时,可设其坐标为 (bcos φ,asin φ),其中 φ∈[0,2π).

[变式训练] 已知直线 l:x-y+9=0 和椭圆 C: ??x=2 3cos θ ,
?
??y= 3sin θ (θ 为参数). (1)求椭圆 C 的两焦点 F1,F2 的坐标; (2)求以 F1,F2 为焦点且与直线 l 有公共点 M 的椭圆
中长轴最短的椭圆的方程.

解:(1)a=2 3,b= 3,c=3,

所以两焦点坐标为(-3,0)、(3,0).

??x=acos (2)设椭圆方程为?y=bsin

θ, θ, 代入

x-y+9=0

中,

??a2=b2+9,

得 acos θ-bsin θ+9=0.

即 a2+b2sin(θ-φ)=9,

即 sin(θ-φ)=

9 a2+b2.

当直线与椭圆相切时长轴最短,即 sin(θ-φ)=1 时,

所以 a29+b2=1,即 a2+b2=81,又 a2=b2+9, 所以 b2=36,a2=45,所求椭圆方程为4x52+3y62 =1.

1.对普通方程为xa22+by22=1(a>b>0)(焦点在 x 轴上)的

椭圆,在解题时可利用其参数方程?????xy==bascions

φ, φ (φ

为参数)

来寻求解决方案.

2.可利用椭圆的参数方程来解决最值、轨迹等方面

的问题.

3.解题时,要针对的不同情况合理选择椭圆的方程 形式.




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