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新课程改革高考数学专题训练教师版导数的概念及运算

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新课程改革高考数学专题训练 word 教师版

导数的概念及运算

A 组基础巩固

一、选择题

1.(文)函数 y=ln1x的导函数为( A )

A.y′=-1x

B.y′=1x

C.y′=lnx

D.y′=-ln(-x)

(理)(2018·江西上高二中月考)函数 f(x)=ex2x的导函数为( B )

A.f′(x)=2e2x

B.f′(x)=?2x-x21?e2x

C.f′(x)=2ex2x

D.f′(x)=?x-x12 ?e2x

[解析] (文)y=ln1x=-lnx,∴y′=-1x.故选 A.

?e2x?′x-e2x·x′ 2e2x·x-e2x ?2x-1?e2x

(理)f′(x)=

x2

= x2 = x2 .故选 B.

[易错提醒] 复合函数求导的步骤不全而致错.复合函数求导的关键在于分清复合关系,

适当选取中间变量,然后由外及内逐层求导,如本题不要忘记(2x)′.

2.已知函数 f(x)=1xcosx,则 f(π)+f′(2π)=( C )

A.-π32

B.-π12

C.-3π

D.-1π

[解析] f(π)=-π1,f′(x)=-xsinxx2-cosx,f′(π2)=-2π,∴f(π)+f=(π2)=-3π.故选 C.

3.(2018·江西师大附中月考)已知函数 f(x)=x(2017+lnx),f′(x0)=2018,则 x0=( B )

A.e2

B.1

C.ln2

D.e

[解析] 由题意可知 f′(x)=2017+lnx+x·1x=2018+lnx,由 f′(x0)=2018,得 lnx0=0,

解得 x0=1.

4.(2018·河北衡水调研)曲线 y=1-x+2 2在点(-1,-1)处的切线方程为( A )

A.y=2x+1

B.y=2x-1

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C.y=-2x-3

D.y=-2x-2

[解析] ∵y=1-x+2 2=x+x 2,∴y′=x?+x+2-2?2x=?x+22?2,y′|x=-1=2,∴曲线在点(-1,

-1)处的切线的斜率为 2,∴所求切线方程为 y+1=2(x+1),即 y=2x+1.

5.(文)(2018·安徽百校论坛联考)已知曲线 f(x)=xa+x21在点(1,f(1))处切线的斜率为 1,则

实数 a 的值为( D )

A.32

B.-32

C.-34

D.43

(理)(2018·安徽安庆模拟)设曲线 y=eax-ln(x+1)在 x=0 处的切线方程为 2x-y+1=0,

则 a=( D ) A.0

B.1

C.2

D.3

[解析]

(文)由

2ax?x+1?-ax2 ax2+2ax f′(x)= ?x+1?2 = ?x+1?2 ,得

f′(1)=34a=1,解得

a=43.故选

D.

(理)∵y=eax-ln(x+1),∴y′=aeax- 1 ,∴当 x=0 时,y′=a-1,∵曲线 y=eax-ln(x x+1

+1)在 x=0 处的切线方程为 2x-y+1=0,∴a-1=2,即 a=3.故选 D.

6.(2018·课标全国Ⅰ,6)设函数 f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若 f(x)为奇函数,则曲线 y=f(x)

在点(0,0)处的切线方程为( D )

A.y=-2x

B.y=-x

C.y=2x

D.y=x

[解析] 本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义.∵f(x)=x3+(a-1)x2+ax 为奇函

数,∴a-1=0,得 a=1,∴f(x)=x3+x,∴f′(x)=3x2+1,∴f′(0)=1,则曲线 y=f(x)在点(0,0)

处的切线方程为 y=x,故选 D.

[解后反思] 求曲线的切线方程需注意的几个问题:

(1)首先应判断所给点是不是切点,如果不是,需要设出切点坐标.

(2)切点既在原函数的图象上,也在切线上,可将切点坐标代入解析式,从而建立方程(组).

(3)在切点处的导数值是切线的斜率,这是求切线方程至关重要的条件.

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7.(2018·江西师大附中、九江一中联考)设曲线 y=1+sincoxsx在点(π2,1)处的切线与直线 x

-ay+1=0 *行,则实数 a 等于( A )

A.-1

B.12

C.-2

D.2

-sin2x-cosx?1+cosx? -1-cosx

[解析] y′=

sin2x

= sin2x

∴k 切=y′|x=π =-1.
2

由题意知直线 x-ay+1=0 的斜率为-1,

即1a=-1,∴a=-1,故选 A.

8.(文)(2018·河北质检)已知曲线 y=lnx 的切线过原点,则此切线的斜率为( C )

A.e

B.-e

C.1e

D.-1e

(理)(2018·威海质检)已知函数 f(x)=xlnx,若直线 l 过点(0,-1),并且与曲线 y=f(x)相切, 则直线 l 的方程为( B )

A.x+y-1=0

B.x-y-1=0

C.x+y+1=0

D.x-y+1=0

[解析] (文)y=lnx 的定义域为(0,+∞),且 y′=1x,设切点为(x0,lnx0),则 y′|x=x0

=x10,切线方程为 y-lnx0=x10(x-x0),因为切线过点(0,0),所以-lnx0=-1,解得 x0=e,故 此切线的斜率为1e.

??kx0-1=y0, ? (理)设直线 l 的方程为 y=kx-1,直线 l 与 f(x)的图象切点为(x0,y0),则 x0lnx0=y0, 解
??lnx0+1=k.

??x0=1, ? 得 y0=0,∴直线 l 的方程为:y=x-1,即 x-y-1=0.
??k=1.

另解:设切点坐标为(x0,x0lnx0), ∵f′(x)=lnx+1,∴k 切=lnx0+1=x0lnxx00+1
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解得 x0=1,∴k 切=1,∴所求切线方程为 y=x+1 即 x-y+1=0,故选 D. 9.(2018·郑州模拟)如图,y=f(x)是可导函数,直线 l:y=kx+2 是曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线,令 g(x)=xf(x),g′(x)是 g(x)的导函数,则 g′(3)=( B )

A.-1

B.0

C.2

D.4

[解析] 由题图可知曲线 y=f(x)在 x=3 处切线的斜率为-13,即 f′(3)=-13,又 g(x)=

xf(x),g′(x)=f(x)+xf′(x),g′(3)=f(3)+3f′(3),由题图可知 f(3)=1,所以 g′(3)=1+3×(-

13)=0.

10.(2018·上饶模拟)若点 P 是曲线 y=x2-lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最

小值为( B )

A.1

B. 2

C.

2 2

D. 3

[解析] 因为定义域为(0,+∞),由 y′=2x-1x=1,解得 x=1,则在 P(1,1)处的切线方

程为 x-y=0,所以两*行线间的距离为 d= 2 = 2. 2

二、填空题

11.(1)(2018·天津,10)已知函数 f(x)=exlnx,f′(x)为 f(x)的导函数,则 f′(1)的值为__e__.

(2)(2018·长春二模)若函数 f(x)=lnxx,则 f′(2)=

1-ln2 4



(3)函数 y=x·tanx 的导数为 y′= tanx+coxs2x .

[解析] (1)本题主要考查导数的计算.

∵f(x)=exlnx,∴f′(x)=ex(lnx+1x), ∴f′(1)=e1×(ln1+1)=e.

1-lnx

1-ln2

(2)由 f′(x)= x2 ,得 f′(2)= 4 .

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(3)y′=(x·tanx)′=x′tanx+x(tanx)′

=tanx+x·(csoinsxx)′=tanx+x·cos2cxo+s2sxin2x =tanx+coxs2x. 12.(2018·江西赣州四校协作体期中联考)函数 y=f(x)在 x=5 处的切线方程是 y=-x+8, 则 f(5)+f′(5)=__2__. [解析] 由题意可知 f′(5)=-1,f(5)=-5+8=3,

∴f(5)+f′(5)=3-1=2.

13.(2018·江西临川一中月考)曲线 y=log2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成的三角形

的面积等于

1 2log2e



[解析] ∵y′=xl1n2,∴切线的斜率 k=ln12,∴切线方程为 y=ln12(x-1),∴所求三角形的

面积 S=12×1×ln12=2l1n2=12log2e.

B 组能力提升

1.(文)已知函数 f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),则 f′(0)=( C )

A.0

B.6

C.-6

D.8

(理)(2018·湖南长沙长郡中学一模)等比数列{an}中,a2=2,函数 f(x)=x(x-a1)(x-a2)(x

-a3),则 f′(0)=( B )

A.8

B.-8

C.4

D.-4

[解析] (文)f′(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+x[(x-1)(x-2)(x-3)]′,∴f′(0)=-6.

(理)f′(x)=(x-a1)(x-a2)(x-a3)+x[(x-a1)(x-a2)(x-a3)]′,∴f′(0)=-a1a2a3=-a32=

-8.

2.(2018·邵阳模拟)已知 a>0,曲线 f(x)=2ax2-a1x在点(1,f(1))处的切线的斜率为 k,当

k 取最小值时 a 的值为( A )

A.12

B.23

C.1

D.2

[解析] 因为 f′(x)=4ax+a1x2,所以 f′(1)=4a+1a≥4,则当 a=12时,f′(1)取最小值为

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4. 3.(2018·四川名校联考)已知函数 f(x)的图象如图所示,f′(x)是 f(x)的导函数,则下列数
值排序正确的是( C )

A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)-f(2) B.0<f′(3)<f′(2)<f(3)-f(2) C.0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2) D.0<f(3)-f(2)<f′(2)<f′(3)

f?3?-f?2?

[解析] 设 f′(3),f(3)-f(2)=

,f′(2)分别表示直线 n,m,l 的斜率,数形结

3-2

合知 0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2),故选 C.

4.(文)(2018·湖南衡阳八中模拟)已知函数 f(x)=axlnx,x∈(0,+∞),其中 a>0 且 a≠1,

f′(x)为 f(x)的导函数,若 f′(1)=3,则 a 的值为__3__.

(理)已知函数 f(x)=asinx+bx3+4(a,b∈R),f′(x)为 f(x)的导函数,则 f(2014)+f(-2014)

+f′(2015)-f′(-2015)=( D )

A.0

B.2014

C.2015

D.8

[解析] (文)因为 f(x)=axlnx,所以 f′(x)=lna·axlnx+axx.又 f′(1)=3,所以 a=3.

(理)因为 f(x)=asinx+bx3+4(a,b∈R),所以 f′(x)=acosx+3bx2,则 f(x)-4=asinx+

bx3 是奇函数,且 f′(x)=acosx+3bx2 为偶函数,所以 f(2014)+f(-2014)+f′(2015)-f′(-

2015)=[f(2014)-4]+[f(-2014)-4]+8=8. 5.(文)(2016·全国卷Ⅲ)已知 f(x)为偶函数,当 x≤0 时,f(x)=e-x-1-x,则曲线 y=f(x)
在点(1,2)处的切线方程是__2x-y=0__. (理)(2018·江西九江一中质量检测)函数 f(x)=xlnx 在点 P(x0,f(x0))处的切线与直线 x+y
=0 垂直,则切点 P(x0,f(x0))的坐标为__(1,0)__.

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[解析] (文)设 x>0,则-x<0,因为 x≤0 时,f(x)=e-x-1-x,所以 f(-x)=ex-1+x,又 因为 f(x)为偶函数,所以 f(x)=ex-1+x,f′(x)=ex-1+1,f′(1)=e1-1+1=2,所以切线方程 为 y-2=2(x-1),即 2x-y=0.
(理)∵f(x)=xlnx,∴f′(x)=lnx+1,由题意得 f′(x0)·(-1)=-1,即 f′(x0)=1,∴lnx0+1 =1,lnx0=0,∴x0=1,∴f(x0)=0,即 P(1,0).
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