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江西省赣州一中2008届高三第一次月考试题(数学文)

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江西省赣州一中 2008 届高三第一次月考数学试题文科

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的。

1 新疆 王新敞 奎屯



f

(x) 是可导函数,且 lim ?x?0

f

(x0

? 2?x) ? ?x

f

(x0 )

?

2, 则f

?(x0 )

?





A. 1 2

B.-1

C.0

D.-2

2.有下述说法:① a ? b ? 0 是 a2 ? b2 的充要条件.

② a ? b ? 0 是 1 ? 1 的充要条件. ab

③ a ? b ? 0 是 a3 ? b3 的充要条件.则其中正确的说法有( )

A. 0 个

B.1个

C. 2 个

D. 3 个

3.设集合 M ? ?x | x ? 2?, P ? ?x | x ? 3? ,那么“ x?M ,或 x ? P ”是“ x ? M P ”

的( )

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.若U 为全集,下面三个命题中真命题的个数是( )

(1)若 A ? B ? ?,则?CU A? ? ?CU B? ? U

(2)若 A ? B ? U ,则?CU A? ? ?CU B? ? ?

(3)若 A ? B ? ?,则A ? B ? ?

A. 0 个

B.1个

C. 2 个

D. 3 个

5.已知 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值,则 a 的范围为 (

)

A. -1<a<2

B. -3<a<6

C. a<-1 或 a>2

D. a<-3 或 a>6

6.已知函数 y=x3+ax2- 4 a 的导数为 0 的 x 值也使 y 值为 0,则常数 a 的值为 (

)

3

A.0

B.±3

C.0 或±3

D.非以上答案

7.函数 y=2x4-4x3+2x2 在区间[0,2]上的最大值与最小值分别为 (

)

A.8, 9 8

B. 9 ,0 8

C.8,0

D.8,- 8 9

8.设 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则 f(x)为增函数的充要条件是 (

)

A. b2-4ac>0

B. b>0,c>0

C. b=0,c>0

D. b2-3ac<0

9.过抛物线 y=x2 上的点 M( 1 , 1 )的切线的倾斜角是 ( 24

A.30°

B.45°

C.60°

) D.90°

10.下列图象中,可以作为 y=-x4+ax3+bx2+cx+d 的图象的是 (

)

11.若不等式 2x ?1 ? x ?1 ? k 恒成立,则 k 的取值范围是

A. k ? 3

B. k ? 2

C. k ? 3

2

3

2

? ? ? ? 12.若集合 A ? y y ? 3?x , B ? x y ? 2x ? 2 , 则 A? B ?

A.?x x ? 0?

B. ?y y ? 0? C. ?x x ? 1?

()

D. k ? 2 3

(

)

D. ?y y ?1?

二.填空题:每小题 4 分,共 16 分。

13.若“ x ??2,5? 或 x ??x | x ?1或x ? 4? ”是假命题,则 x 的范围是___________。

14.把 6 名同学*均分成 2 组分别参加英语和文学欣赏兴趣小组,问甲乙两名同学恰在不

同组的概率为

.

15.已知函数 f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0)的单调减区间是(0,4),则 k 的值是______.

16.当 a ? 1 时, f ?(x) ? 2x ? a ?1 且 f (0) ? a ,则不等式 f (x) ? 0 的解集是

.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题 12 分)设 A ? {x x2 ? 4x ? 0}, B ? {x x2 ? 2(a ?1)x ? a2 ?1 ? 0} ,其中 x ? R ,如

果 A B ? B ,求实数 a 的取值范围。

18. (本小题 12 分)命题 p : 方程 x2 ? mx ?1 ? 0 有两个不等的正实数根,命题 q : 方程

4x2 ? 4(m ? 2)x ? 1? 0无实数根。若“ p 或 q ”为真命题,求 m 的取值范围。

19.(本小题 12 分)如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,中,AD ? AA1 ? 1, AB ? 2 ,点 E 在棱 AD 上移动.

(1)证明: D1E ? A1D ;
(2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离;
(3)当 AE ? 2 ? 3 时,求二面角 D1 ? EC ? D 的大小.
20.(本小题 12 分)确定抛物线 y=x2+bx+c 中的常数 b 和 c,使得抛物线和直线 y=2x 在 x=2 处相切.
21.(本小题 12 分)已知 f(x)=x2+1. g(x)=f[f(x)]. ? (x)=g(x)+ ? f(x). 问是否存在实数 ? ,

使? (x)在(-∞,- 2 ]上单调递减而在[ ? 2 ,1]上单调递增?

2

2

22.(本小题

14

分)设

f

(x)

?

x3 3

,对任意实数 t ,记

gt (x)

?

2
t3x

?

2t 3



(I)求函数 y ? f (x) ? g8 (x) 的单调区间;

(II)求证:(ⅰ)当 x ? 0 时, f (x) ≥ gt (x) 对任意正实数 t 成立;

(ⅱ)有且仅有一个正实数 x0 ,使得 g8 (x0 ) ≥ gt (x0 ) 对任意正实数 t 成立.

参考答案
一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 B A A D D C C D B C A D

二、填空题:本大题共有 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分

13. ?1,2?

14、 2C42 ? 3 C63 5

15、 1 3

16、 x ? a或x ? 1

三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17.解:由 A B ? B得B ? A ,

而 A ? ??4,0? , ? ? 4(a ?1)2 ? 4(a2 ?1) ? 8a ? 8 …… 4 分

当 ? ? 8a ? 8 ? 0 ,即 a ? ?1 时, B ? ? ,符合 B ? A ;…… 6 分

当 ? ? 8a ?8 ? 0 ,即 a ? ?1时, B ? ?0?,符合 B ? A ;…… 8 分

当 ? ? 8a ? 8 ? 0 ,即 a ? ?1时, B 中有两个元素,而 B ? A ? ??4,0?;

∴ B ? ??4,0? 得 a ?1 …… 10 分 ∴ a ?1或a ? ?1。 …… 12 分

18. 解:“ p 或 q ”为真命题,则 p 为真命题,或 q 为真命题,或 q 和 p 都是真命题 ……2 分

?? ? m2 ? 4 ? 0



p

为真命题时,则

? ?

x1

?

x2

?

?m

?

0

,得

m

?

?2 ;

? ?

x1 x2

?

1

?

0

……6 分

当 q 为真命题时,则 ? ? 16(m ? 2)2 ?16 ? 0, 得 ? 3 ? m ? ?1 ……9 分

当 q 和 p 都是真命题时,得 ?3 ? m ? ?2

……11 分

?m ? ?1

……12 分

19.解:以 D 为坐标原点,直线 DA, DC, DD1 分别为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系,设

AE ? x ,则 A1(1, 0,1), D1(0, 0,1), E(1, x, 0), A(1, 0, 0), C(0, 2, 0)

(1)因为DA1, D1E ? (1,0,1),(1, x,?1) ? 0,所以DA1 ? D1E.

……3 分

(2)因为 E 为 AB 的中点,则 E(1,1,0) ,从而 D1E ? (1,1,?1), AC ? (?1,2,0) ,

AD1

?

(?1,0,1)

,设*面

ACD1

的法向量为

n

?

(a, b, c)

,则

??n ?

?

AC

?

0,

??n ? AD1 ? 0,

也即

?? ???

a a

? ?

2b ? 0 c?0

,得

?a ??a

? ?

2b c

,从而

n

?

(2,1,2)



所以点 E 到*面 ACD1 的距离为

……5 分

h ? | D1E ? n | ? 2 ?1 ? 2 ? 1 .

|n|

33

……7 分

(3)设*面 D1EC 的法向量 n1 ? (a,b, c) ,∴ CE ? (1, 3,0), D1C ? (0,2,?1), DD1 ? (0,0,1),



???n1

?

D1C

?

0,

?

?2b ?

?

c

?

0

∴ n1 ? ( 3,1,2).

??n1 ? CE ? 0, ?a ? 3b ? 0.

……9 分

又*面 DEC 的法向量 n2 ? (0,0,1)

依题意

cos

? n1 ,

? n2

? n1 ? n2 ? | n1 | ? | n2 |

2. 2

……11 分

∴ AE ? 2 ?

3

时,二面角

D1

?

EC

?

D

的大小为

? 4

.

20.解:

y′=2x+b.

……12 分 ……3 分

由条件可知,切点为(2,4).

∴y′|x=2=2×2+b=2,解得 b=-2. ∴y=x2-2x+c.

……5 分

把 x=2,y=4 代入,得 4=4-2×2+c,∴c=4.

……10 分

∴b=-2,c=4.∴函数的解析式为 y=x2-2x+4.

……12 分

21.解:? (x)=f[f(x)]+ ? f(x)=x4+(2+ ? )x2+2+ ?

……4 分

? ? (x)=4x3+2(2+ ? )x

……6 分

由已知得? ? ???? ?

2 2

????

=4

????

?

2 2

????

3

+2(2+ ?

) ???? ?

2 2

????

=0

得: ? ? ?3 ……8 分

此时, ? ? (x)=4x3+2(2+ ? )x=? ? (x)=4x3-2x= 2x(2x2 ?1)

? (??,? 2 ), (0, 2 ) 为函数的递减区间

2

2

(? 2 ,0), ( 2 ,??) 为函数的递增区间

2

2

……11 分

这与在[ ? 2 ,1]上单调递增矛盾
2
? ? ? ?3不符合要求舍去,即不存在这样的 ? .

……12 分

22.(I)解: y ? x3 ? 4x ? 16 .由 y? ? x2 ? 4 ? 0 ,得 x ? ?2 .

3

3

……2 分

因为当 x ?(??,? 2) 时,y? ? 0 ;当 x ? (?2,2) 时,y? ? 0 ;当 x ?(2,??) 时,y? ? 0 ,

故所求函数的单调递增区间是 (??,? 2) , (2,? ?) ,单调递减区间是 (?2,2) . ……4



(II)(ⅰ)证明:令 h(x)

?

f

(x) ?

gt (x)

?

x3 3

2
?t3x?

2 t(x 3

? 0) ,

2
则 h?(x) ? x2 ? t 3 ,

1
当 t ? 0 时,由 h?(x) ? 0 ,得 x ? t 3 ,

……6 分

1

1

?当 x ? (0,t 3 ) 时, h?(x) ? 0 ,当 x ? (t 3,? ?) 时, h?(x) ? 0 ,

1
所以 h(x) 在 (0,? ?) 内的最小值是 h(t 3 ) ? 0 .

故当 x ? 0 时, f (x) ≥ gt (x) 对任意正实数 t 成立.

……8 分

(ⅱ)证明:对任意

x0

?

0



g8 (x0 )

?

4x0

?

16 3



因为

gt

(

x0

)

关于

t

的最大值是

1 3

x03



……11 分

所以要使 g8 (x0 ) ≥ gt (x 0) 对任意正实数成立的充分必要条件是:

4x0

?

16 3



1 3

x03



即 (x0 ? 2)2 (x0 ? 4) ≤ 0 ,

又因为 x0 ? 0 ,不等式①成立的充分必要条件是 x0 ? 2 ,所以有且仅有一个正实数 x0 ? 2 ,

使得 gx (x0 ) ≥ gt (x0 ) 对任意正实数 t 成立. ……14 分




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